雷达向天空发射电磁波

　　如何利用观测的信号来确定飞行器的特征？

　　怎样利用地面上收集到的波场信息

　　勘探地下是否存在石油、天然气等能源？

　　这些既上天又入地的科学问题背后

　　都离不开数学理论

　　与科学计算的强大支撑

　　浙江大学数学科学学院

　　求是讲席教授包刚经过多年科研攻关

　　完成“波动方程反问题的数学理论与计算方法”

　　获得2020年度国家自然科学奖二等奖

　　让我们一起来了解下！

　　波动方程反问题是通过系统外部观测的波场来确定介质内部结构与特征的研究，被学界誉为“数学具有鲜活生命力的最重要体现之一”。自上世纪中叶以来，反问题的研究持续稳步推进，而现代科学技术的不断发展也为其带来新的机遇与挑战。但是，波动方程反问题作为一类极具重要性和应用价值的科学问题，在数学理论和计算方法方面一直存在着巨大的困难，主要表现在非线性性、不适定性、算法的复杂性及模型的不确定性。如何克服这些难题，实现精准反演，减小探测误差的影响，近几十年来始终是国际学术前沿。

　　科技自立自强与自主创新一脉相承，习近平总书记指出“科研选题是科技工作首先需要解决的问题。”浙江大学数学科学学院求是讲席教授包刚经过多年科研攻关，克服波动方程反问题的非线性性、不适定性及模型的不确定性等难题，取得了一系列重要成果，获得了速度场含焦散线的波动方程反介质问题的稳定性，建立了多频、随机反源问题的适定性理论及计算框架，发展了超分辨率成像反界面问题的理论分析与计算方法，成功突破国际学术前沿理论难题，解开相关探测技术中的数学奥秘。

　　摘掉“强假设”，拓宽稳定性

　　通过边界上的波场信息来确定介质的性质，是波动方程反问题在地质勘探、无损检测等实际问题中的重要应用。然而，由于波动方程反问题的非线性性和不稳定性特征，实现精准探测极其困难。

　　“测量数据的误差会导致反演的不准确，如何保证小的测量误差仅带来反演结果的小扰动，这就是稳定性研究。”包刚说。

　　针对稳定性这一极具挑战性的波动方程反问题核心难题，多位国际反问题权威学者近三十年来利用几何光学的渐近分析方法得到了一系列结果，但这些方法都需要一个非常强的理论假设，即速度场本身不含焦散线。包刚与其博士生张海引入高斯束取代几何光学近似，提出了全新的处理方法。通过将高斯束方法与微局部分析相结合，精细地刻画奇性传播，依靠测量边界上的散射关系来克服该反问题的不稳定性，首次突破了介质不含焦散线的理论假设限制，该项成果发表在国际数学顶尖期刊——美国数学学会会刊（JAMS）上。

　　克服“不适定”，掌控随机性

　　通过观测的散射场信息来确定未知源函数被称为波动方程的反源问题。这类问题在医学成像、微地震研究中有广泛的应用前景。建立可计算反演模型及发展解的唯一性、稳定性理论，是反源问题研究的核心。

　　反源问题研究的本质困难在于单频数据反演无唯一性及稳定性。单频数据不行，包刚就开始在多频数据上下功夫。针对波动方程的反源问题，通过引入多频观测数据，再根据解的唯一性延拓原理，建立了反源问题的唯一性理论，成功克服了单频数据下反源问题不适定的困难。

　　反源问题研究的另一个挑战就是在实际应用中，波源还普遍存在着随机性，已有的用于求解确定性反源问题的理论和算法都不再适用，亟待发展新的数学理论与计算方法来研究随机反源问题。为了加大计算的准确度和可信度，包刚与其合作者提出了布朗运动驱动的随机源波动方程模型，基于该模型，给出了随机源期望和方差函数的允许空间，建立了模型问题解的正则性理论，提出并实现了确定未知随机源函数的高效稳定算法，“随机”不再不可掌控。

　　巧用倏逝波，突破衍射极限

　　为什么一些特别微小的东西我们用肉眼看不见？这就是光学成像的衍射极限。该极限已经成为制约显微镜、望远镜、照相机等光学器件发展的主要瓶颈之一。近场成像技术是突破衍射极限、达到超分辨率的有效途径，但是，其数学理论亟待发展。

　　如何利用刻画光传播的波动方程反界面问题，建立近场数据和被测目标之间的内在联系，是实现超分辨率成像的关键问题。

　　包刚的办法是利用倏逝波的信息。“以往相关领域内有学者提出了一个线性化模型来开展研究，但无法准确处理原非线性模型。”包刚和合作者分别针对界面局部扰动和粗糙界面的近场分辨率成像问题，从界面上方近场的观测数据来确定界面的结构信息。

　　界面表面传播的倏逝波由于其法向的指数衰减性质，往往难以控制。通过对倏逝波的细致刻画，包刚揭示了波场谱信息与界面的微观结构之间的非线性关系。关于粗糙界面反散射，发展了基于快速傅里叶变换的稳定高效反演算法。构造了基于多频数据的新型逐次线性化算法，实现了多尺度界面的超分辨率成像，所取得的原创性成果为研发新一代成像设备提供了理论基础。

　　反问题不止用于细微之中，也用于“大物”之上。

　　“隐形飞机”的设计目的就是让人探测不到，如何才能让它现形？相对于电磁波的波长来说，飞机引擎进气口、开放导管等关键部位的大腔体，可以算是实打实的“大型物体”。然而，探测大腔体不论从理论还是技术上，都不是一件容易的事。通过对目标物体进行坐标变换，大腔体散射问题就转化为大波数问题，其解具有高振荡性在计算上是公认的难题。

　　包刚与合作者引入新型非局部透射边界条件，将无界散射问题转化为有界腔体问题，证明了其解的存在唯一性，首次获得了解显式依赖于波数的稳定性估计，建立了大波数问题的稳定性理论，为数值求解大腔体散射问题的收敛性分析奠定了理论基础。

　　包刚的科研方向长期瞄准关键核心领域。坚持“面向世界科技前沿”，包刚的相关原创性研究成果通过论文已在国际顶级期刊和相关领域学术期刊上发表150余篇，得到美国科学院院士、美国工程院院士、美国艺术与科学院院士、欧洲科学院院士等众多学者的广泛引用。期间，他也主持了国家基金委创新研究群体、重大研究计划重点项目、重大研究计划集成项目等多个研究课题。

　　优秀科研成果的诞生也得益于包刚深厚的家国情怀。2010年，在美国密西根州立大学已获终身正教授十余年的包刚，在自己科研工作最活跃的时候，选择回国全身心投入浙江大学数学人才培养与学科建设。师者，传道授业解惑也。十年来，包刚始终坚持在导学、教学第一线，坚持以人为本的教学理念，教书育人。包刚经常对学生说“归属感很重要，做科学研究既要找准源动力，知道为谁服务，也要潜心积累，坐得住科学问题的冷板凳。”，他用切身经历和实际行动为学生做出了榜样。

　　数十年来，包刚勤奋求实，科研攻关锐意进取，得到了国际数学界的广泛赞誉。2016年，包刚因其对波现象的反问题和应用于光学的电磁学显著而持久的贡献当选为美国工业与应用数学会会士（SIAM Fellow）。2020年，包刚又当选美国数学会会士（AMS Fellow），及首届中国工业与应用数学会会士（CSIAM Fellow）。此外，他将在2022年国际数学大会上作45分钟邀请报告。